Dinamica delle malattie epidemiche senza immunità garantita

Astratto

La pandemia di sindrome respiratoria acuta grave Coronavirus 2 (SARS-CoV-2) suggerisce un nuovo tipo di dinamica di diffusione della malattia. Studiamo qui il caso in cui gli agenti infetti si riprendono e sviluppano l'immunità solo se sono continuamente infettati per un certo tempo τ. Per τ grandi, il modello di malattia è descritto da una teoria statistica del campo. Quindi, le fasi della sottostante teoria del campo caratterizzano la dinamica della malattia: (i) una fase pandemica e (ii) un regime di risposta. La teoria del campo statistico fornisce un limite superiore per il tasso massimo di agenti infetti.

La sindrome respiratoria è un disturbo comune, specialmente durante le stagioni di cambiamento delle temperature. Negli ultimi anni, con l'aumento di vari inquinanti, è aumentata anche l'incidenza della sindrome respiratoria. Dovremmo comprendere la relazione tra sindrome respiratoria e immunità e, migliorando l'immunità, prevenire e alleviare questa malattia.

L'immunità è la prima linea di difesa del corpo contro virus e batteri. Una volta che l'immunità del corpo è indebolita, le persone sono suscettibili alle infezioni e si verificherà anche la sindrome respiratoria. Pertanto, dobbiamo adottare misure per migliorare l'immunità, compresa l'attenzione alla dieta, l'esercizio moderato e il mantenimento di un buon atteggiamento.

La dieta svolge un ruolo fondamentale nel rafforzare l'immunità. Mangiare più frutta e verdura può integrare le vitamine e gli oligoelementi necessari al corpo, migliorando così l'immunità del corpo. Allo stesso tempo, mangiare meno o non mangiare cibi troppo piccanti e grassi può ridurre in una certa misura il carico sul corpo e migliorare l'immunità.

L'esercizio moderato è anche un modo efficace per aumentare l'immunità. Non solo può migliorare la resistenza alle malattie del corpo, ma anche promuovere la salute del sistema cardiovascolare. Tuttavia, è anche necessario prestare attenzione alla quantità di esercizio non troppo grande, altrimenti porterà a un declino dell'immunità.

Mantenere un buon atteggiamento è anche un fattore importante per migliorare l'immunità. Le persone emotivamente stabili hanno maggiori probabilità di mantenere una buona salute perché l'instabilità emotiva può portare a squilibri nella secrezione di ormoni nel corpo, riducendo così l'immunità del corpo.

In breve, l'immunità è uno dei fattori chiave della sindrome respiratoria. Dovremmo adottare misure per migliorare la nostra immunità, come rafforzare l'esercizio fisico, migliorare le abitudini alimentari, mantenere un buon atteggiamento, ecc., Che possono prevenire la sindrome respiratoria e anche prevenire la sindrome respiratoria. Può alleviare efficacemente i sintomi e migliorare l'effetto del trattamento. Credo che attraverso queste misure saremo in grado di mantenere un corpo forte e avere una vita sana. Da questo punto di vista, dobbiamo migliorare la nostra immunità. Cistanche può migliorare significativamente l'immunità, perché la cenere di carne contiene una varietà di componenti biologicamente attivi, come polisaccaridi, due funghi, Huang Li, ecc. Questi componenti possono stimolare il sistema immunitario Vari tipi di cellule nel sistema, aumentare la loro attività immunitaria.

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Una strategia di controllo efficace deve mirare a mantenere la malattia nel regime di risposta (nessuna "seconda" ondata). Il modello viene testato a livello quantitativo utilizzando una rete di malattie idealizzate. Il modello descrive in modo eccellente la diffusione epidemica dell'epidemia di SARS-CoV-2 nella città di Wuhan, in Cina. Scopriamo che solo il 30 percento degli agenti recuperati ha sviluppato l'immunità.

Parole chiave:

Malattie infettive; Corona virus; SARS-CoV-2; Simulazione numerica.

1. Introduzione

La rapida diffusione di una malattia in una particolare regione o regioni (epidemia) o lo scoppio globale di una malattia (pandemia), vedi Porta [17], può avere un effetto dannoso sui sistemi sanitari, sulle economie locali e globali, compresi i mercati finanziari e le interazioni socioeconomiche, dalla città al livello internazionale. Le misure per ridurre la diffusione della pandemia includono la riduzione delle interazioni tra parti infette e non infette della popolazione e la riduzione dell'infettività o della suscettibilità dei membri del pubblico, vedi ad esempio Ferguson et al. [5].

Le due principali strategie utilizzate dai governi per gestire un focolaio sono rallentare un focolaio (mitigazione) o interrompere la diffusione della malattia (soppressione). Poiché ognuno di questi interventi comporta rischi significativi per il benessere sociale ed economico, è fondamentale comprendere l'efficacia di queste strategie (o di qualsiasi loro ibrido).

I metodi matematici forniscono input essenziali per il processo decisionale governativo che mira a controllare l'epidemia. Tra questi ci sono metodi statistici, Unkel et al. [22], Becker e Britton [2], modelli deterministici dello spazio degli stati, Brauer et al. [3] con il suo prototipo sviluppato da Kermack et al. [12], e una varietà di modelli di reti complesse, ad esempio, Hwang et al. [10], Shirley e Rushton [19].

I diversi approcci matematici hanno obiettivi diversi: un'applicazione significativa dei metodi statistici mira spesso alla diagnosi precoce di focolai di malattie come descritto da Unkel et al. [22], mentre la modellazione cerca di sviluppare un modello il più realistico possibile per un dato focolaio o di progettare un modello semplicistico, che, tuttavia, rivela una verità universale sulle dinamiche del focolaio.

Nella versione più semplice, i cosiddetti modelli compartimentali (vedi Kermack et al. [12], Hethcote [9]) considerano la frazione della popolazione che è suscettibile (S), infetta (I) o rimossa (R) dalla rete delle malattie. Le equazioni differenziali accoppiate catturano le dinamiche della malattia che determinano la dipendenza temporale di S, I e R. Le estensioni aggiungono più compartimenti al modello SIR (Susceptible Infected Removed) come (E) esposto.

Ad esempio, un modello SEIR (Susceptible Exposed Infected Removed) è stato utilizzato da Lekone e Finkenstädt [15] per una descrizione dell'epidemia di Ebola nella Repubblica Democratica del Congo nel 1995. I modelli compartimentali sono stati applicati per descrivere il recente SARS-CoV{ {3}} focolai. Le pubblicazioni selezionate sono Giordano et al. [7], Krishna e Prakash [13], Tagliazucchi et al. [21] Lin et al. [16], Anastassopoulou et al. [1] Wu et al. [23]. Ad esempio, il modello elaborato di Giordano et al. utilizza un totale di 8 compartimenti - suscettibile (S), infetto (I), diagnosticato (D), malato (A), riconosciuto (R), minacciato (T), guarito (H) ed estinto (E) - per descrivere il Epidemia di COrona VIrus Disease 2019 (COVID-19) in Italia.

I modelli compartimentali sono stati estesi da Dureau et al. [4] per catturare influenze stocasticamente sconosciute, come il cambiamento dei comportamenti. Tali modelli sono stati recentemente utilizzati per analizzare l'epidemia di COVID-19 a Wuhan da Kucharski et al. [14]. Un nuovo modello SEIR epidemico esteso, che tiene conto di una classificazione socio-politica di diversi interventi, è stato proposto da Proverbio et al. [18] per valutare il valore di diversi approcci di soppressione.

I modelli compartimentali affrontano quantità globali come la frazione di individui suscettibili e presuppongono che le equazioni del tasso euristico possano descrivere le dinamiche della malattia. Nei casi di una rete (sociale) fortemente disomogenea, ad esempio tenendo conto delle diverse densità di popolazione, l'ipotesi di cui sopra non sembra essere sempre giustificata. In questi casi, i modelli di diffusione spaziale della malattia possono essere descritti da un modello di rete stocastico con simulazioni Monte-Carlo una scelta comune per la simulazione.

In questo articolo, consideriamo le dinamiche della malattia per le quali la durata (gravità) della malattia dipende dalla quantità di esposizione. Utilizzando una rete (sociale) elementare, stiamo cercando meccanismi universali che descrivano una diffusione pandemica. Riveleremo una connessione con la teoria del campo statistico, che ci consentirà di caratterizzare un focolaio con gli strumenti dei fenomeni critici. Discuteremo dell'impatto dei risultati sulle politiche per frenare un'epidemia e concluderemo l'epidemia di COVID-19 a Wuhan, provincia di Hubei, Cina.

2 Modellazione

2.1 Fondamenti del modello

Ciascuno interagisce con quattro "vicini" del social network. La diffusione della malattia è descritta come un processo stocastico. Ad ogni passaggio temporale (diciamo "giorno"), la probabilità che un individuo venga infettato (o guarisca) dipende dallo stato dei vicini nel social network. Qui studiamo solo il caso semplice di una rete omogenea con quattro vicini per ogni sito. Consideriamo anche condizioni al contorno periodiche per minimizzare gli effetti di bordo.

2.2 Immunità

Studiamo due scenari strettamente correlati.

(i) Non c'è immunità. Ogni individuo può essere reinfettato e può riprendersi solo per essere nuovamente suscettibile (modello Susceptible Infected Susceptible (SIS)).

(ii) Gli individui possono essere reinfettati e guarire. Solo se gli individui rimangono infetti per τ giorni consecutivi, sono considerati immuni.

Nel caso (ii), i siti degli individui immuni vengono rimossi dalla rete della malattia.

2.3 Dinamica della malattia

Se x è un sito della rete della malattia, ad ogni passo temporale lo stato ux ∈ {0, 1} è scelto casualmente con probabilità

dove xy è un collegamento elementare sul reticolo che unisce i siti x e y e, quindi, n è il numero di vicini infetti e Nx =1 più exp{4 nx più 2h} è la normalizzazione. Il parametro h è legato alla probabilità di contrarre la malattia dall'esterno della rete. Se nessuno nella rete è infetto (nx=0, ∀x), la probabilità p che un individuo contragga la malattia è collegata a h da p=exp{2h} 1 più exp{2h} .

Il parametro descrive la contagiosità della malattia. La probabilità che un individuo venga infettato (UX=1) aumenta in modo monotono con 4 nx più 2 ore. Il parametro descrive quindi quanto questa probabilità dipenda dall'esposizione, cioè il numero nx di vicini infetti.

Se il reticolo contiene N individui (cioè siti), si dice che un passaggio una tantum è stato completato se abbiamo considerato N siti scelti a caso per l'aggiornamento.

3 La pandemia si è diffusa come fenomeno critico

3.1 Tasso di picco di infezione

Lo scenario (ii) mostra la tipica evoluzione temporale di un'epidemia con il tasso di infezione che si avvicina allo zero per lunghi periodi a causa del recupero degli agenti e di un numero crescente di individui immuni. Al contrario, lo scenario (i) ha uno stato asintotico indipendente dallo stato iniziale e descritto dalla teoria statistica dei campi. Dopo il cambio della variabile zx=2ux – 1, lo stato asintotico è descritto dalla funzione di partizione del modello di Ising, Ising [11], Friedli e Velenik [6]:

con H=h plus 4 , che è la ben nota funzione di partizione per gli spin z di Ising in un campo magnetico esterno H. La dinamica della malattia dello scenario (i) corrisponde a una catena di Markov di aggiornamenti locali nel modello di Ising con il tempo di Markov identificato come tempo reale.

Per un campo esterno nullo H, il modello mostra un comportamento critico con una transizione di fase a {{0}} c=ln(1 plus √2)/2 ≈ 0.44 . Nella fase ordinata per > c, una piccola probabilità seme p > 0 innesca un tasso di infezione vicino al 100% della popolazione. Il modello è nella fase 'pandemia'. Per < c, il modello è nella fase di "risposta", cioè il tasso di infezione è in risposta alla probabilità seme p, ma non si verifica alcun focolaio. Il tasso di infezione asintotica può essere calcolato utilizzando i metodi Markov Chain Monte-Carlo (MCMC). Partendo, ad esempio, senza agenti infetti (ux=0 o zx=–1), ogni passo temporale (vedi Sez. 2) crea un campione della diffusione della malattia. Ogni modello di malattia dipende solo dal giorno precedente e la sequenza dei giorni forma una catena di Markov.

Dopo un po' di tempo, che in fisica statistica viene chiamato "tempo di termizzazione", il tasso giornaliero di infezione inizia a fluttuare intorno alla media, cioè al tasso asintotico. Il tasso asintotico è indipendente dai dettagli della simulazione se sono soddisfatte determinate condizioni MCMC.

Tra questi, l'ergodicità è facilmente violata nella fase pandemica per i cosiddetti algoritmi di aggiornamento locale, in particolare quello di Metropolis-Hastings, Hastings [8]. Qui, abbiamo utilizzato l'algoritmo del cluster Swendsen-Wang all'avanguardia, che funziona bene in entrambe le fasi, vedi Swendsen e Wang [20]. I nostri risultati numerici sono riassunti in Fig. 1, pannello di sinistra. La curva (2) separa entrambe le fasi: la fase pandemica e il regime di risposta.'

3.2 Immunità

Studiamo ora lo scenario (ii), in cui gli individui possono sviluppare l'immunità se sono infetti per τ giorni consecutivi. Per τ > tth, il tasso di infezione di picco è quello dello stato asintotico del modello corrispondente (i) e, quindi, eredita la fase di classificazione 'pandemia' o 'risposta'. Ciò è illustrato in Fig. 1, pannello di destra, per la fase pandemica per diversi valori di τ. La Figura 2 illustra il comportamento molto diverso della diffusione della malattia nella fase pandemica (=0.41, p=5 per cento ) e il regime di risposta (=0.38, p {{{7} } per cento ). I risultati sono per una rete N=100 × 100 e τ=11. Si noti che la curva per "infetti più immuni" (simbolo del "triangolo") nella fase pandemica non aumenta in modo monotono nel tempo poiché gli individui infetti possono tornare a uno stato "suscettibile", cioè non tutti gli individui infetti diventano immuni. Si noti che nel regime di risposta (simbolo 'cerchio' e 'quadrato'), il picco 'pandemia' è del tutto assente. Tuttavia, l'aspetto negativo è che la cosiddetta "immunità di gregge" si sviluppa lentamente nel tempo.

3.3 Confronto con i dati

Sottolineiamo che l'ipotesi del modello di una rete (sociale) omogenea con "quattro vicini" non è realistica. Uno studio di una rete di malattie eterogenee è un lavoro in corso. La conoscenza della rete patologica sottostante è essenziale per fare previsioni quantitative, ad esempio il valore critico c della contagiosità. Qui, adottiamo un approccio diverso: assumiamo che l'evoluzione temporale qualitativa di quantità di massa come la frazione di individui infetti sia alla portata dello scenario del modello (ii) e usiamo quelle come funzioni di adattamento per determinare i parametri del modello come , p e τ rispetto ai dati effettivi. Per questo studio, abbiamo utilizzato i dati dell'epidemia di COVID-19 nel 2020 nella città di Wuhan, provincia di Hubei in Cina, Yu [24] (accesso 16 aprile 2020). I dati sul numero di individui infetti mostrano un balzo al giorno 73 (sulla scala temporale arbitraria) del 40 percento, dovuto a un cambiamento nella segnalazione.
Partiamo dal presupposto che nei giorni precedenti si sia verificata la stessa "mancata segnalazione". Guidati dal fatto che la distribuzione di probabilità (il tasso di infetti) è una funzione continua, abbiamo corretto i dati moltiplicando il numero di infetti (e infetti più guariti) per un fattore 1,4 per t inferiore o uguale a 73. Sia D(t, τ, , p) la frazione della popolazione di individui infetti in funzione del tempo t e dipendente dai parametri τ (tempo per sviluppare l'immunità), (contagiosità) e p (probabilità seed) per ottenere infetto. Abbiamo calcolato D(t, τ, , p) usando un reticolo N=250 × 250. Abbiamo verificato che il risultato è indipendente dalla dimensione del reticolo nell'intervallo percentuale per i parametri rilevanti per questo studio. Se Dwuhan(t) quantifica i valori misurati per il numero di infetti nell'epidemia di Wuhan, vogliamo approssimare questi dati, cioè,

Dwuhan(t) ≈ NpopD(t – ts, τ , , p)

con un'opportuna scelta del parametro Npop, ts, e p., Poiché l'offset dell'asse del tempo nei dati di Wuhan è arbitrario, abbiamo scelto lo spostamento in modo tale che i picchi dei dati simulati e dei dati misurati coincidano. Tutti gli altri parametri vengono trattati come parametri di adattamento. Questi parametri sono stati ottenuti adattando il modello solo ai dati infetti. Complessivamente, Npop ≈ 68k, ts ≈ 50, τ ≈ 21, ≈ 0,48, p ≈ 3,3 percento .

I risultati per "guarito più infetto" e "immune" sono quindi previsioni del modello. I primi possono essere confrontati con i dati reali per valutare la fattibilità del modello.

I dati del modello superano i dati nei primi giorni della diffusione dell'epidemia, il che potrebbe essere correlato alla sottostima a causa delle limitate capacità di test. È interessante osservare che la curva del tasso di infezione è asimmetrica: la pendenza del rialzo all'inizio è maggiore della pendenza del declino dopo il massimo. Inoltre, il numero di infetti sembra stabilizzarsi su un valore diverso da zero. Nel presente modello, ciò è spiegato come segue: con più agenti immuni, è più difficile per gli agenti suscettibili essere continuamente infettati per un tempo maggiore o uguale a τ e, quindi, sviluppare l'immunità. Scopriamo anche che solo il 30% circa degli infetti (e guariti) sviluppa l'immunità.

4 Conclusioni e interpretazioni

Viene proposto un nuovo tipo di modello di malattia stocastica: gli agenti possono riprendersi da un'infezione e sono nuovamente suscettibili. Sviluppano l'immunità solo se la loro infezione dura più a lungo di un tempo caratteristico τ. Per τ → ∞, il tasso di infezione è descritto dalla teoria statistica del campo. Per τ finito, il tasso di infezione della teoria dei campi fornisce un limite superiore del tasso di infezione del modello dinamico. Questo apre la possibilità di caratterizzare la dinamica della malattia alla luce dei fenomeni critici della sottostante teoria di campo: una diffusione pandemica corrisponde alla fase ordinata della teoria di campo, e il valore critico per la contagiosità è quello per la transizione di fase. La malattia è in modalità di risposta controllabile se la corrispondente teoria del campo è nella fase disordinata.

La coda pesante del calo del numero di infetti, che si attesta su valori diversi da zero, è una caratteristica intrinseca del modello ed è riconducibile al fatto che gli agenti possono essere reinfettati. In una rete con una porzione considerevole di agenti immunitari, è sempre più difficile sviluppare l'immunità. Se questi presupposti del modello fossero sostenuti da indagini mediche, il raggiungimento dell'"immunità di gregge" sarebbe difficile. Ciò dovrebbe influenzare la decisione in che misura gli sforzi si concentreranno sullo sviluppo di una cura o di un vaccino.

Ringraziamenti

Ringrazio Lorenz von Smekal (Giessen) per le discussioni e gli utili commenti sul manoscritto. Sono grato a Paul Martin (Leeds) per le interessanti discussioni nella fase iniziale di questo progetto.

Finanziamento

Il progetto non ha ricevuto finanziamenti esterni.

Abbreviazioni

SARS-CoV-2, Sindrome respiratoria acuta grave Coronavirus 2; COVID-19, malattia da COrona VIrus 2019; Modello SIS, Modello Suscettibile Infetto Suscettibile; modello SIR, modello Suscettibile Infetto Rimosso; modello SEIR, modello Suscettibile Esposto Infetto Rimosso; MCMC, Catena Markov Monte-Carlo.

Disponibilità di dati e materiali

I dati utilizzati per analizzare l'epidemia di Wuhan sono pubblicamente disponibili da Yu [24] (consultato il 16 aprile 2020) o dall'autore su richiesta.

Interessi conflittuali

L'autore dichiara di non avere interessi concorrenti.

Contributi degli autori

Il manoscritto ha un unico autore. Tutti i contributi sono di questo autore. L'autore ha letto e approvato il manoscritto finale.

Informazioni degli autori

Kurt Langfeld è Professore (presidente) di Fisica Teorica e Direttore della Scuola di Matematica dell'Università di Leeds, nel Regno Unito. I suoi campi di competenza principale sono i metodi numerici per la simulazione delle teorie quantistiche dei campi e la fisica statistica. Ha ricevuto un dottorato di ricerca. in Fisica Teorica presso l'Università Tecnica di Monaco di Baviera nel 1991. Tra il 1991 e il 2006, ha lavorato presso l'Università di Tubinga, in Germania, come ricercatore e docente. Durante i congedi, ha beneficiato di visite di ricerca presso istituzioni internazionali: ha trascorso un anno al CEA, Saclay, Parigi con una borsa di ricerca DFG, ed è stato invitato due volte come visiting professor al KIAS, Seoul, Corea del Sud. Nel 1999 ha superato l'"Abilitazione" ed è stato insignito della Venia Legendi.

Nel 2005 è diventato professore di fisica teorica all'Università di Tubinga. La sua ricerca lo ha portato alla Plymouth University, nel Regno Unito, nel 2006, all'Università di Liverpool come professore e capo del dipartimento di scienze matematiche, nel 2016, prima di iniziare il suo ruolo a Leeds. Ha lavorato come revisore per l'Engineering and Physical Sciences Research Council (EPSRC), l'Austrian Council FWF e lo Swiss National Supercomputing Center (CSCS). Revisiona regolarmente manoscritti inviati a riviste di alto profilo in fisica delle particelle e ha pubblicato più di 100 articoli su queste riviste.

Nota dell'editore

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Riferimenti

Anastassopoulou C, Russo L, Tsakris A, Siettos C. Analisi basata sui dati, modellazione e previsione dell'epidemia di COVID-19. PLOS UNO. 2020;15:e0230405. https://journals.plos.org/plosone/article/metrics?id=10.1371/journal.pone. 0230405. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0230405.

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3. Brauer F, Castillo-Chavez C, Feng Z. Modelli matematici in epidemiologia. Berlino: Springer; 2019.

4. Dureau J, Kalogeropoulos K, Baguelin M. Catturare i driver variabili nel tempo di un'epidemia utilizzando sistemi dinamici stocastici. Biostatistica. 2013;14(3):541–55. https://doi.org/10.1093/biostatistics/kxs052.

5. Ferguson NM, Cummings DAT, Cauchemez S, Fraser C, Riley S, Meeyai A, Iamsirithaworn S, Burke DS. Strategie per contenere una pandemia influenzale emergente nel sud-est asiatico. Natura. 2005;437(7056):209–14. https://doi.org/10.1038/nature04017.

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7. Giordano G, Blanchini F, Bruno R et al. Modellazione dell'epidemia di COVID-19 e implementazione di interventi a livello di popolazione in Italia. Nat Med. 2020;26:855–60. https://www.nature.com/articles/s41591-020-0883-7. https://doi.org/10.1038/s41591-020-0883-7.

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