Astratto:L'identificazione radiometrica è il problema dell'attribuzione di un segnale a una sorgente specifica. In questo lavoro, viene sviluppato un algoritmo di identificazione radiometrica utilizzando la trasformazione sbiancante. L'approccio si distingue dai metodi più consolidati in quanto funziona direttamente sui dati grezzi del QI e quindi è privo di caratteristiche. Pertanto, gli algoritmi di riduzione della dimensionalità comunemente usati non si applicano. La premessa dell'idea è che un set di dati è "più bianco" quando proiettato sulla sua matrice di sbiancamento che su qualsiasi altro. In pratica, i dati trasformati non sono mai rigorosamente bianchi poiché i dati di addestramento e test differiscono. La misura di Förstner-Moonen che quantifica la somiglianza delle matrici di covarianza viene utilizzata per stabilire il grado di bianchezza. La trasformata di sbiancamento che produce un set di dati con la distanza minima di Förstner-Moonen da un processo di rumore bianco è il segnale sorgente. La sorgente è determinata dall'output della funzione mode operata sulle decisioni del Majority Vote Classifier. L'utilizzo della misura di Förstner-Moonen presenta una prospettiva diversa rispetto alla massima verosimiglianza e alle metriche della distanza euclidea. La trasformazione dello sbiancamento è anche in contrasto con i più recenti approcci di apprendimento profondo che dipendono ancora da vettori di caratteristiche con grandi dimensioni e lunghe fasi di addestramento. È dimostrato che il metodo proposto è più semplice da implementare, non richiede vettori di caratteristiche, richiede una formazione minima e, a causa della sua struttura non iterativa, è più veloce degli approcci esistenti.

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1. Introduzione 

L'identificazione radiometrica è il problema dell'attribuzione di un segnale alla sorgente; spesso marca o modello. L'identificazione della fonte viene eseguita mediante l'impronta digitale RF dei dispositivi cercando le firme che possono derivare da tolleranze di fabbricazione, imperfezioni o normali variazioni statistiche nella produzione. C'è un lavoro considerevole nella classificazione dei segnali e nel riconoscimento della modulazione [1,2]. Tuttavia, l'identificazione radiometrica non rientra perfettamente in nessuna delle due categorie. Per molti versi, l'identificazione radiometrica è un problema più difficile in quanto i segnali provenienti da fonti diverse possono avere caratteristiche simili come modulazione, bit rate, forme degli impulsi, ecc. Questo fatto rende le sottili variazioni del dispositivo la firma principale per l'identificazione radiometrica. Tali variazioni, tuttavia, sono piccole, impercettibili e difficili da modellare. Perché l'identificazione radiometrica è di interesse sono molte pieghe. I militari sono da tempo interessati a questa capacità come mezzo per identificare i radar amichevoli da quelli ostili [3,4]. La comunicazione satellitare può subire interferenze intenzionali o non intenzionali da fonti non autorizzate. Conoscere la fonte e il marchio dell'interferente può aiutare a identificare la fonte offensiva. L'identificazione radiometrica è anche uno strumento prezioso per proteggere i dispositivi wireless. I tentativi di spoofing nelle reti wireless e nei dispositivi IoT possono essere contrastati se la fonte del segnale può essere identificata e bloccata [5,6]. È più difficile imitare le caratteristiche del dispositivo che sono incorporate nei segnali piuttosto che replicare la modulazione o la sagomatura dell'impulso.

L'identificazione radiometrica può essere formulata nel contesto di un classificatore statistico. L'approccio classico segue l'estrazione delle caratteristiche e la riduzione della dimensionalità mediante tecniche come la PCA e infine il classificatore di analisi discriminante multipla [7,8]. In [9], Square Integral Bispectra (SIB) viene utilizzato per estrarre le caratteristiche vaganti uniche dei singoli segnali trasmessi, seguito da PCA per estrarre un vettore di caratteristiche a bassa dimensione. È stato osservato che le caratteristiche mantenute dopo la riduzione della dimensionalità non sono necessariamente ottimali per la classificazione.

L'ottimizzazione combinata della riduzione della dimensionalità e della classificazione delle impronte digitali è proposta in [10]. L'idea è di guidare la riduzione della dimensionalità minimizzando l'errore di classificazione e massimizzando simultaneamente le informazioni reciproche tra le caratteristiche di dimensionalità ridotta e l'etichetta di classe. Le caratteristiche dell'impronta digitale RF vengono estratte dalle statistiche dell'ampiezza, della fase e della frequenza istantanee normalizzate del segnale, risultando in vettori di caratteristiche con un massimo di 960 dimensioni. Rimane comunque il problema della riduzione della dimensionalità. L'estrazione delle caratteristiche per gli algoritmi di identificazione del trasmettitore è stata sviluppata per operare in fase transitoria [11] o stazionaria [12]. La fase transitoria è uno stato analogico del segnale che si verifica subito dopo l'attivazione del trasmettitore, mentre la fase stazionaria è caratterizzata dalla modulazione.

Il lavoro più recente sull'identificazione radiometrica è stato influenzato dall'aumento degli strumenti di deep learning (DL). Esempi sono il fingerprinting RF [13], il fingerprinting dei dispositivi IoT [14], il rilevamento dello spettro [15] e l'identificazione dei dispositivi RF nelle reti cognitive [16]. Ciò che è ancora necessario in tutto questo lavoro è l'estrazione di vettori di caratteristiche seguita da una riduzione della dimensionalità che richiede tempo. I vettori di feature estratti in [10], ad esempio, hanno 960 dimensioni prima della riduzione della dimensionalità. In altre parole, il problema principale rimane. L'uso di DL è spesso realizzato mediante la programmazione di strumenti pronti all'uso o l'uso di varie routine di reti neurali convoluzionali (CNN) implementate in Matlab. Ad esempio, il bispettro compresso viene identificato come caratteristica e quindi utilizzato per addestrare una CNN a tre strati [17]. Ciò che differisce è il numero di layer, tap, filtri, funzioni di attivazione, ecc. Un altro esempio in questo senso appare in [18] dove l'API di Keras viene utilizzata con TensorFlow sul back-end per distinguere i conducenti distratti. In [15], DL è implementato per l'impronta digitale del dispositivo RF nelle reti Zigbee cognitive utilizzando il segnale di errore in banda base complesso nel dominio del tempo come dati di addestramento e test. I risultati mostrano una buona accuratezza (≈90 percento) ma ad alto SNR (maggiore o uguale a 20 dB). In [19], i dati di input sono preelaborati come immagini in scala di grigi dello spettro di Hilbert e raggiungono un'accuratezza accettabile a livelli SNR moderati (tasso di accuratezza medio del 70% per SNR di 15 dB). Un confronto completo delle prestazioni è mostrato per vari algoritmi DL in [13], riportando una precisione media del 98% misurata per 12 trasmettitori.

Il fatto che ML operi su insiemi di dati molto più piccoli e richieda molto meno tempo di addestramento rispetto a DL (ore di addestramento [15]), offre una maggiore versatilità per segnalare i cambiamenti delle caratteristiche che si verificano in diverse circostanze ambientali (surriscaldamento, eccesso di corrente, ecc.) , che può influire notevolmente sulla caratteristica selezionata per la classificazione. Questa proprietà di ML (guidata dai dati) consente aggiornamenti rapidi delle funzionalità e di conseguenza si traduce in una classificazione più accurata a lungo termine. Inoltre, la minore complessità rispetto a DL consente un'implementazione hardware più semplice e una rapida classificazione al volo.

L'identificazione specifica dell'emettitore (SEI) è un altro paradigma per l'identificazione radiometrica [20-22]. L'approccio SEI tenta di identificare l'unico trasmettitore di un segnale utilizzando solo misurazioni di caratteristiche esterne [22]. SEI è implementato in due fasi, (1) stato del segnale transitorio e (2) stato del segnale stazionario. L'approccio transitorio si applica alle particolari firme incorporate nel segnale quando il trasmettitore si accende o si spegne [23,24]. Gli approcci transitori sono più difficili da implementare a causa dell'indisponibilità o della natura transitoria dei dati che spesso non sono accessibili o salvati. L'approccio dello stato stazionario si riferisce al periodo in cui i transitori si sono stabilizzati. Le caratteristiche disponibili includono modulazione e preambolo [25,26], tra gli altri. Nelle tecniche basate sulla modulazione, le costellazioni ricevute e target vengono confrontate dove la differenza crea un'impronta RF [27]. Un algoritmo di identificazione rapida delle decisioni appare in [28]. L'identificazione si basa sulla somiglianza di un vettore di segnale e sul suo confronto con modelli disponibili in un database. L'approccio è classificato come un esempio di SEI applicato all'identificazione radar. L'algoritmo è stato applicato a centinaia di registrazioni di segnali radar provenienti da diversi tipi di radar. In alcuni casi sono state studiate copie dello stesso tipo di radar. Soppesando tutte le caratteristiche allo stesso modo, viene riportato un tasso di riconoscimento corretto dell'85% per i tipi di radar. Un metodo misto di identificazione radar basato sull'emissione elettromagnetica e sull'analisi intrapulse appare in [29]. La premessa è che i dispositivi elettronici impartiscono caratteristiche elettriche all'impulso trasmesso. Il modello del segnale è N spinte non sovrapposte da K trasmettitori. Viene utilizzata l'analisi discriminante lineare. Quattro metriche di distanza vengono utilizzate per classificare il polso sconosciuto. È stato riferito che tre copie dello stesso tipo di radar sono state riconosciute con successo.

Interessante anche l'identificazione radiometrica dei protocolli di comunicazione. La verifica dell'identificazione delle sorgenti che utilizzano il protocollo LTE è riportata in [30,31]. L'identificazione si basa su caratteristiche di modulazione univoche esibite dai trasmettitori, risultanti da minuscole imperfezioni introdotte durante la produzione dell'hardware radio. Le imperfezioni del dispositivo sono state utilizzate come firma per l'identificazione radiometrica, inclusi il clock jitter [32], gli errori dei convertitori digitale-analogico (DAC) [33], il sintetizzatore di frequenza locale [34], la non linearità dell'amplificatore di potenza [35-37] . Le imperfezioni dell'amplificatore di potenza sono utilizzate anche per l'identificazione della sorgente [38]. Segnali radar reali sono utilizzati per l'identificazione dell'emettitore [39].

Un'applicazione completamente diversa per l'identificazione radiometrica è il radar. Anche se i trasmettitori possono appartenere allo stesso tipo di radar, possono presentare sottili differenze nei loro impulsi trasmessi. In [33], vengono utilizzate 18 caratteristiche per identificare tre classi di radar. Vengono confrontate cinque impronte digitali di identificazione dell'emettitore radar basate sui transitori del segnale radar. Le tecniche tradizionali includono la radiofrequenza (RF), l'ampiezza dell'impulso, l'ampiezza dell'impulso, il tipo di modulazione dell'impulso intenzionale o gli intervalli di ripetizione dell'impulso. In [40], le informazioni di modulazione involontaria sulla forma d'onda dell'emettitore vengono utilizzate come impronte digitali RF, per legare il segnale ricevuto e il suo emettitore corrispondente. La modulazione non intenzionale su impulso (UMoP) è un metodo che sfrutta le variazioni dovute a differenze di fabbricazione dell'hardware del trasmettitore, compresi gli amplificatori di potenza. L'UMoP è come un'impronta digitale di un emettitore e può identificare trasmettitori dello stesso modello [41]. La scomposizione in modalità variazionale per l'identificazione radar è riportata in [42]. Il set di dati è composto da 47 emettitori. Alcuni di questi emettitori erano produzioni dello stesso radar. I risultati dimostrano che il valore SNR effettivo dovrebbe essere di circa 47 dB per ottenere una probabilità di classificazione corretta maggiore di 0,9.

2. Quadro per l'identificazione radiometrica

Il segnale ricevuto viene prima corretto per l'offset di fase, l'offset di frequenza dell'oscillatore e gli errori di temporizzazione dei simboli prima dell'applicazione della trasformata di sbiancamento. La trasformazione dello sbiancamento è una proiezione ortogonale basata su una variazione del PCA ed è correlata alla proiezione subspaziale ortogonale [43]. Dai dati di addestramento viene stimata una matrice di trasformazione dello sbiancamento per sorgente. Non è necessario conoscere il tipo di modulazione, la frequenza, la fase o qualsiasi altra cosa relativa al segnale. L'identificazione della fonte sconosciuta si basa sull'osservazione che un set di dati è "più bianco" quando proiettato sulla sua matrice di sbiancamento rispetto a qualsiasi altra, quindi sbiancamento abbinato. La proiezione dei dati sconosciuti sullo sbiancamento trasforma e sbianca i dati solo se c'è una corrispondenza tra la matrice di sbiancamento ei dati. Anche quando i dati corrispondono alla trasformazione di sbiancamento, i dati proiettati non sono mai veramente bianchi. Una misura di "bianchezza" viene sviluppata scegliendo una metrica di divergenza per il confronto delle matrici di covarianza. Questa misura è la somma dei logaritmi al quadrato degli autovalori congiunti delle matrici di covarianza di riferimento e test; la distanza Förstner-Moonen. Lo sbiancamento è ben noto nel rilevamento del segnale ed è spesso formulato come Whitening Matched Filter. L'obiettivo è decorrelare i campioni di rumore all'uscita del filtro. Un'implementazione 3D di WMF viene utilizzata per studi di impatto ambientale in immagini iperspettrali [44]. Il rilevamento di oggetti utilizzando lo sbiancamento/sbiancamento per trasformare le firme del bersaglio in iperspettrale multitemporale appare in [45]. Esempi di tali approcci di sbiancamento si applicano principalmente al rilevamento di segnali e oggetti e non sono rilevanti per l'identificazione radiometrica come proposto qui.

2.1. La trasformazione sbiancante

Sia X ∈ Rp×n la matrice dati costituita da n misure di p variabili con la matrice di covarianza Σ. Lo sbiancamento statistico è una trasformazione lineare che trasforma i dati in modo tale che la matrice di covarianza di Y=WX sia la matrice identità. La matrice di trasformazione sbiancante non è unica. In effetti, [46] menziona quindici diverse matrici di proiezione che sbiancano i dati, le più importanti sono lo sbiancamento PCA e ZCA [47]. Nello specifico,

dove U e Λ sono le matrici degli autovettori e degli autovalori nella decomposizione della matrice di covarianza Σ=UΛU T. Le trasformazioni di whitening producono dati decor-related ma a che scopo? Ancora più importante, che ruolo gioca lo sbiancamento nell'identificazione radiometrica? È qui che la trasformazione sbiancante corrispondente devia dall'uso esistente della PCA nell'identificazione radiometrica. PCA è meglio conosciuto per la compressione dei dati guidando la rimozione dei componenti di Y con energia insignificante. Le caratteristiche che rimangono non sono necessariamente le migliori per la classificazione. Tuttavia, quasi tutte le tecniche di classificazione radiometrica basate su PCA utilizzano le caratteristiche che sopravvivono alla compressione in una successiva funzione discriminante per classificare i dati. ZCA ha la proprietà aggiuntiva della fase zero annullando la rotazione causata dal PCA. Nessuno dei due è applicabile qui. La produzione di dati non correlati è una fase di pre-elaborazione da cui vengono estratti i vettori delle caratteristiche di dimensionalità inferiore. La riduzione dimensionale non si applica ai campioni IQ in quanto ci sono solo due dimensioni, tanto per cominciare, e sono già in gran parte legate all'arredamento. Il PCA è stato utilizzato anche nell'apprendimento profondo accelerando la convergenza nelle reti neurali convoluzionali [48].

2.2. Classificazione per sbiancamento abbinato

I dati sono organizzati in una matrice N × M X=[x1, x2, . . . , xM], xi ∈ RN×1 dove M è il numero di misure e N è il numero di variabili o dimensioni. Per i dati IQ, N=2 e M è il numero di simboli nel record. Sia Wi , i=1, 2, . . . , m le matrici delle trasformate di sbiancamento per m segnali sorgente {c1, c2, . . . , cm}. Le matrici di sbiancamento dipendenti dalla classe vengono calcolate offline dai dati di addestramento. Poiché i dati IQ sono influenzati dagli offset di fase e frequenza, i dati devono essere corretti prima che vengano calcolate le matrici di sbiancamento. I dati del test sono partizionati in blocchi utilizzati per generare statistiche. Non esiste una lunghezza del blocco "corretta". Dipende dalla velocità di cambiamento di fase, dall'offset di frequenza o dallo spostamento Doppler. Nel caso di offset di fase non lineare, le lunghezze dei blocchi vengono scelte sufficientemente corte da assicurare una fase quasi stazionaria durante la stima della fase. Ulteriori informazioni su come scegliere la lunghezza del blocco per invertire l'offset di frequenza sono disponibili nella Sezione 3.

Per illustrare questo punto, vengono create tre popolazioni normali multivariate e mostrate nella Figura 1a. Il terzo set di dati (in nero) viene utilizzato come sorgente "sconosciuta" e viene ripetutamente proiettato su Wi, i=1, 2, 3. Dopo ogni proiezione, il diagramma di dispersione viene tracciato e mostrato nella Figura 1 bd. Quando i dati del gruppo 3 vengono sbiancati da W1, Figura 1b, l'asse maggiore dei dati proiettati appare ad angolo rispetto all'asse principale della matrice di proiezione. Ciò indica che i dati e la matrice di sbiancamento non corrispondono. Proiezioni ripetute producono la Figura 1b-d. È solo nella Figura 1d che la trasformazione dello sbiancamento produce un diagramma di dispersione circolare. La proiezione che produce i dati meno correlati identifica il marchio. Questa proprietà indica che l'origine dei dati sconosciuti corrisponde alla trasformazione di sbiancamento del gruppo 3. Il rivelatore può essere implementato come una banca di filtri abbinati in parallelo mostrati nella Figura 2.

2.3. Sviluppo di una misura sbiancante

Ci sono diversi problemi nel legare i dati sconosciuti alla sua matrice sbiancante. In primo luogo, le componenti del QI dei dati reali sono già abbastanza decorrelate, quindi lo sbiancamento potrebbe non portare una decorrelazione aggiuntiva significativa. In secondo luogo, il sottospazio definito in (1) viene creato offline dai dati di addestramento. Tuttavia, i dati del test sono diversi anche se provengono dalla stessa popolazione dei dati di addestramento. Se vengono utilizzati dati diversi dal training set, lo sbiancamento dei dati sarà approssimativo. La proprietà fondamentale è che la matrice di covarianza dei dati sconosciuti assomiglierà alla matrice identità se proiettata nel suo sottospazio più che in qualsiasi altro. Terzo, come misurare il "bianchezza". Questo è un problema nel confronto tra matrici di covarianza [49].

Esiste un numero qualsiasi di metriche per misurare le distanze tra due matrici di covarianza simmetriche e definite positive. Includono la divergenza KL, la distanza euclidea, la norma di Frobenius al quadrato, la distanza di Bhattacharyya, la divergenza della matrice di Bregman e LogDet [50], tra gli altri. In questo lavoro, usiamo la metrica di Förstner-Moonen [49] come misura di similarità di due matrici di covarianza. Come punto di riferimento, vengono studiate la ben citata metrica Correlation Matrix Distance (CMD) [51] e le misure di Kullback-Leibler. Non esiste una definizione di somiglianza, ma tre sono monotoni con correlazione e quindi sono misure valide. Abbiamo sovrapposto i grafici CMD, KL e Förstner-Moonen per il confronto. I grafici appaiono più avanti nella Figura 3a. Come previsto, la distanza a coppie aumenta con l'aumentare della correlazione, il che significa che la matrice di covarianza delle variabili correlate si trova a distanze maggiori da una matrice di covarianza diagonale. È interessante notare che la misura KL è praticamente coincidente con la metrica Förstner-Moonen, giustificando quindi il suo utilizzo come indice di somiglianza.

dove λi(A, B), gli autovalori congiunti di A e B, sono le radici di |λA − B|=0. Nel contesto della trasformata di sbiancamento, la matrice di covarianza di riferimento è la matrice identità A=I e B=cov(Yi) è la matrice di covarianza dei dati sconosciuti sbiancati da Wi. Pertanto, gli autovalori congiunti si riducono semplicemente agli autovalori della matrice di covarianza misurata B dei dati sconosciuti.

Il classificatore costruito su (3) è un classificatore di maggioranza, o pluralità, voto [52] governato dalle regole h1, h2, . . . , ehm. Le regole sono funzioni di appartenenza. Date le misurazioni Xi da una fonte sconosciuta,

dove p è il numero di blocchi. La funzione mode è il numero che ricorre più spesso nell'insieme, cioè hj(Xi) è il numero di volte in cui Xi viene votato per appartenere a JC. La misura sconosciuta Xi è classificata come la classe che riceve il maggior numero di voti. Questo processo è illustrato nella Figura 2. Questo è un esempio di voto "duro". L'alternativa è il voto "morbido" in cui viene mantenuta la frequenza delle assegnazioni alle classi.

La complessità computazionale dell'algoritmo è costituita dalla matrice di sbiancamento, dalla trasformazione di sbiancamento e dalla decomposizione degli autovalori. Se X ∈ Rd×M, dove d è il numero di variabili e M è il numero di misurazioni, la complessità della trasformata di sbiancamento è O(d2M più d3), la trasformata di sbiancamento è O(d2M) e l'autocomposizione è O(d3) . Con la rappresentazione del segnale IQ, d=2 ed è costante per tutto il tempo. Pertanto, ciascuna delle complessità di cui sopra alla fine riduce la complessità complessiva a O(M). cioè lineare con il numero di misurazioni.

3. Inversione degli offset di fase e di frequenza

La prima sfida riguarda l'identificazione radiometrica delle superfici prima che l'algoritmo venga implementato. I segnali sono spesso resi disponibili con rotazioni di fase non corrette. Ci sono due tipi di rotazioni. La rotazione fissa è causata da uno sfasamento costante della portante di riferimento. La rotazione variabile nel tempo è causata dalla mancata corrispondenza di frequenza della portante di riferimento. La mancata corrispondenza potrebbe essere correlata all'hardware o causata da Doppler. In ogni caso, è un'incognita. Il disadattamento di frequenza, chiamato frequenza di offset fd, provoca una corrispondente fase variabile nel tempo che si traduce in una sbavatura della costellazione. Questo è diverso da quello sfasamento fisso che fa ruotare l'intera costellazione. La Figura 4 mostra l'offset di fase variabile nel tempo sotto due livelli SNR. Entrambe le rotazioni fisse e variabili nel tempo devono essere invertite prima dell'identificazione radiometrica.

3.1. Sfondo

La correzione dell'offset di fase e frequenza prima dell'identificazione della sorgente non è sempre affrontata nella letteratura sull'identificazione radiometrica [17]. L'approccio tradizionale al recupero della fase portante è il metodo della legge di potenza [53]. L'innalzamento del segnale alla potenza Mth crea un tono a M volte la frequenza di offset che può essere utilizzato per derogare la costellazione. Tuttavia, questo metodo funziona solo per gli offset a fase fissa. L'approccio qui presentato estrae traiettorie di fase arbitrarie adattando un modello alla stima di massima verosimiglianza dei punti di fase misurati su più segmenti di segnale. La traiettoria di fase viene dapprima stimata da segmenti di segnale sufficientemente brevi da considerare stazionaria la fase; essenzialmente un'istantanea della fase nel tempo. La pendenza della linea adattata agli angoli di fase utilizzando i minimi quadrati è proporzionale alla frequenza di offset. Inoltre, il metodo di adattamento dei minimi quadrati gestisce le traiettorie di fase non lineari causate dall'effetto della frequenza di offset di secondo ordine. Questo non è possibile con il metodo della legge di potenza.

3.2. Modello di segnale

Il modello discreto per l'offset di fase è {θk=2π fd t, t=kTs, k=1, 2, . . . K} dove Ts è la lunghezza del simbolo e K è il numero di simboli nel blocco utilizzato per stimare la rotazione di fase. I simboli successivi ruotano di 2π e adattano i radianti lontano dalle loro posizioni nominali. Questo movimento forma un arco nel tempo provocando così un effetto di sbavatura mostrato in Figura 4. Per correggere questa rotazione, deve essere trovata una stima di θk, ˆθk, e usata per recuperare fd e derogare al blocco di simboli. La rotazione massima del simbolo su un blocco è T=KTs.

La stima della frequenza di offset può essere ottenuta stimando prima la traiettoria di fase. La stima di θ(t) viene eseguita su brevi blocchi di lunghezza T per assicurare la stazionarietà di fase, cioè {θ(t) ≈ θk, t ∈ T}. Pertanto, esiste una stima di fase per blocco di dati. La quantità fdT è la rotazione frazionaria della costellazione su 2π per la lunghezza del blocco T. Questa quantità deve essere mantenuta piccola per due motivi. Un fdT più piccolo significa un campionamento più fine della curva di fase. Questo è importante per catturare la non linearità di fase mediante la modellazione lineare a tratti. Due, grandi fdT spingono i simboli oltre il loro quadrante di simboli originale. Questo effetto può essere visto nella Figura 4b dove i simboli nel primo quadrante sono stati spostati nel secondo quadrante. Ciò che costituisce segmenti brevi o lunghi è spiegato nella sezione seguente.

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